Question

如图所示，AB、CD为圆的两条相交弦、且不全为直径．求证：AB、CD不能互相平分．

Answer 1

答案：
解析：

证明：假设AB、CD互相平分，连结AC、CB、AD、BD则ACBD为平行四边形． 　　所以：∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD． 　　因为四边形ACBD为圆内接四边形， 　　所以∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°． 　　　因此，∠ACB＝90°，∠CAD＝90°． 　　所以，对角线AB、CD均为直径，与已知矛盾． 　　因此，AB、CD不能互相平分． 　　思路分析：要证AB与CD不能互相平分，从正面来证明难度很大，所以正难则反，采用反证法，假设AB与CD相互平分，可以找出存在的矛盾．

提示：

反证法的关键是，在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾；或与假设矛盾；或与定义、定理、公理、事实矛盾等． 　　反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“……归谬法(反证法)是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明．象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！”．