Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，现将△ ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′D的中点．

(1)求证：EF//平面A′BC；
(2)求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值．

Answer 1

（1）要证明线面平行，只要通过证明线线平行来得到即可。
（2）

试题分析：解：(1)证明：取A′C的中点M，连结MF，MB，则FM∥DC，且FM＝DC.

∵EB∥DC，且EB＝DC，
∴FM∥EB且FM=EB.
∴四边形EBMF为平行四边形，
∴EF∥MB.
∵EF平面A′BC，MB平面A′BC，
∴EF∥平面A′BC.                            4分
(2)过B作BO垂直于DE的延长线，O为垂足，连结A′O.
∵平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE＝DE，
∴BO⊥平面A′DE，
∴∠BA′O就是直线A′B与平面A′DE所成的角．       7分
过A′作A′S⊥DE，S为垂足，

因为平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE＝DE，
所以A′S⊥平面BCDE.
在Rt△A′SO中，A′S＝，SO＝2，所以A′O＝．
又BO＝，所以tan∠BA′O＝＝＝，
故直线A′B与平面A′DE所成角的正切值为．       10分
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定定理与线面平行与线线平行的相互转化，还考查了直线与平面所成角的求解，要注意利用已知图形构造直角三角形进行求解．