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    求证：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈N*)能被36整除．

    答案：
    解析：

    　　证明：用数学归纳法．

    　　(1)当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．

    　　(2)假设n＝k时，f(k)能被36整除，

    　　则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k+1＋9

    　　＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)．

    　　由归纳假设，知3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，

    　　而3k－1－1是偶数，

    　　∴18(3k－1－1)能被36整除．

    　　∴n＝k＋1时，f(k＋1)能被36整除．

    　　由(1)(2)可知，对任何n∈N*，f(n)能被36整除．


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    设数列｛an｝的首项a1＝1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t(t＞0，n＝2，3，4，…)．

    (1)

    求证：数列｛an｝是等比数列

    (2)

    设数列｛an｝的公比为f(t)，作数列｛bn｝，使b1＝1，bn＝f(n＝2，3，4，…)，求bn．

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    设数列{an}的首项a1＝1，其前n项和Sn满足：3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t(t＞0，n＝2，3…)．

    (Ⅰ)求证：数列{an}为等比数列；

    (Ⅱ)记{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1＝1，bn＝f()(n＝2，3…)，求和：b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2nb2n+1．

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    求证：f(1)＋f(2)＋ ＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．

     

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