Question

已知一圆过P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.

Answer 1

解法一:设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0,                             （1）

将P、Q点的坐标分别代入①得

令x=0,由（1）,得y²+Ey+F=0.                                          （4）

由已知|y₁-y₂|=4,其中y₁、y₂是方程④的两根,得(y₁-y₂)²=(y₁+y₂)²-4y₁y₂=E²-4F=48.（5）

解（2）（3）（5）组成的方程组,得

故所求圆的方程为x²+y²-2x-12=0或x²+y²-10x-8y+4=0.

解法二:可求得PQ的中垂线方程为x-y-1=0,①

∵所求圆的圆心C在直线①上,故可设其坐标为(a,a-1),

由圆C的半径r=|CP|=,②

已知圆C截y轴所得的线段长为4,而圆C到y轴的距离为|a|,

∴r²=a²+()².③

③代入②式并将两端平方,得a²-6a+5=0.

解得a₁=1,a₂=5.

∴r₁=,r₂=.故所求圆的方程为(x-1)²+y²=13或(x-5)²+(y-4)²=37.