Question

已知函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a＞0)，且2a＋3b＋6c＝0，求证方程f(x)＝0至少有一个根在区间(0，1)内．

Answer 1

答案：
解析：

分析：首先用二分法在区间(0，1)内寻找一个分点，使这个分点所对应的函数值小于0，然后证明f(0)与f(1)中至少有一个为正，即得证． 　　证明：在区间(0，1)内选取中点．因为2a＋3b＋6c＝0，且a＞0，所以f＝a＋b＋c＝a＋b＋＝－a＜0． 　　因为f(0)＋f(1)＝c＋(a＋b＋c)＝a＋b＋2c＝a＋b＋(－a－b)＝a＞0，所以f(0)与f(1)中至少有一个为正． 　　结合二次函数的图象可知，方程f(x)＝0至少有一个根在区间(0，1)内． 　　点评：要证方程f(x)＝0在区间(m，n)内有两个不同的根，只需证f(m)与f(n)的符号相同，并在区间(m，n)内找一个分点t，使f(t)的符号与f(m)与f(n)的符号相反．要证方程f(x)＝0在区间(m，n)内至少有一个根，只需证f(m)与f(n)中至少有一个的符号与区间(m，n)内的一个分点t所对应函数值f(t)的符号相反．找分点t，可以用二分法．