Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，且满足an+1-3an=2×3n(n∈N*)，
（Ⅰ）求证：数列{

an

3n

}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an+1-3an=2×3n，知

an+1

3n+1

-

an

3n

=

2

3

，由此能证明数列{

an

3n

}是等差数列．
（Ⅱ）由{

an

3n

}是等差数列，知

an

3n

=

a1

3

+

2

3

(n-1)=

1

3

(2n+1)，故an=(2n+1)•3n-1，所以Sn=3+5•3+7•32+…+(2n-1)•3n-2+(2n+1)•3n-1，由此利用错位相减法能求出Sn=n•3n．

解答：（Ⅰ）证明：∵an+1-3an=2×3n，
∴

an+1

3n+1

-

an

3n

=

2

3

，（3分）
∴数列{

an

3n

}是公差d=

2

3

的等差数列．（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知{

an

3n

}是等差数列，
∴

an

3n

=

a1

3

+

2

3

(n-1)=

1

3

(2n+1)，
∴an=(2n+1)•3n-1，（8分）
∴Sn=3+5•3+7•32+…+(2n-1)•3n-2+(2n+1)•3n-1，①
3Sn=9+5•32+7•33+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ，②
①-②，得-2S_n=3+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n+1）•3ⁿ
=3+2×

3×(1-3n-1)

1-3

-（2n+1）•3ⁿ
=3+3ⁿ-3-（2n+1）•3ⁿ
=-2n•3ⁿ，
∴Sn=n•3n．（12分）

点评：本题考查等差数列的证明和数列前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和错位相减法的合理运用．