Question

已知两个向量a=(3,4)、b=(2,-1),当a+xb与a-b垂直时，求x的值.

Answer 1

思路分析：利用已知向量a与b表示a+xb,a-b,根据向量垂直的充要条件，得到关于x的关系式.

解法一：∵(a+xb)⊥(a-b),

∴(a+xb)·(a-b)=0.

从而a²+xa·b-a·b-xb²=0,

即|a|²+(x-1)a·b-x·|b|²=0.

又|a|²=3²+4²=25，

|b|²=2²+(-1)²=5，

a·b=3×2+4×(-1)=2,

∴25+(x-1)×2-5x=0.∴x=.

解法二：∵a=(3,4)、b=(2,-1),

∴a+xb=(3,4)+x(2,-1)=(2x+3,4-x),a-b=(3,4)-(2,-1)=(1,5).

由于(a+xb)·(a-b)=0，从而(2x+3)×1+(4-x)×5=0,

即2x+3+20-5x=0.∴x=.