Question

在直角坐标系O—xyz中, =(0,1,0),=(1,0,0), =(2,0,0), =(0,0,1).

(1)求与的夹角α的大小;

(2)设n=(1,p,q),且n⊥平面SBC,求n;

(3)求OA与平面SBC的夹角;

(4)求点O到平面SBC的距离;

(5)求异面直线SC与OB间的距离.

Answer 1

解:(1)如图,=- =(2,0,-1), =+=(1,1,0),则

    ||==,|OB|==.

    cosα=cos〈,〉===,α=arccos.

    (2)∵n⊥平面SBC,

    ∴n⊥且n⊥,即

    ∵=(2,0,-1), =-=(1,-1,0),

    ∴∴即n=(1,1,2).

    (3)OA与平面SBC所成的角θ和OA与平面SBC的法线所夹角互余,故可先求与n所成的角.

    =(0,1,0),| |=1,|n|==.

    ∴cos〈,n〉===,

    即〈,n〉=arccos.

    ∴θ=-arccos.

    (4)点O到平面SBC的距离即为在n上的投影的绝对值,

    ∴d=|·|==.

    (5) 在异面直线SC、OB的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离,故先求与SC、OB均垂直的向量m.

    设m=(x,y,1),m⊥且m⊥,

    则m·=0,且m·=0.

    ∴即

    ∴m=(,-,1),d′=|·|=

    =.