Question

平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证:n个圆把平面分成f(n)=n²-n+2个部分.

Answer 1

分析：本题的关键在于如何应用归纳假设及已知条件分析当n=k+1时,第k+1个圆与其他k个圆的交点个数,做到有目的的变形.

证明: (1)当n=1时,一个圆把平面分成两部分,又1²-1+2=2,故命题成立.

(2)假设n=k(k∈N*)时,命题成立,即满足题设条件的k个圆把平面分成f(k)=k²-k+2个部分.2分

那么当n=k+1时,设第k+1个圆为⊙O,由题意,它与k个圆中每个圆交于两点,又无三个圆交于同一点,于是它与其他k个圆交于2k个点,这些点把⊙O分成2k条弧,即f(k+1)=f(k)+2k=k²-k+2+2k=(k+1)²-(k+1)+2.

这就是说,当n=k+1时,命题也成立.

综上可知,对一切n∈N*,命题都成立.