Question

设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），，并且，，求θ．

Answer 1

【答案】分析：化简ω，利用，求出θ的三角函数值，再用，来验证ω，从而求出θ的值．
解答：解法一===tg2θ（sin4θ+icos4θ）．，．
因0＜θ＜π，故有
（ⅰ）当时，得或，这时都有，
得，适合题意．
（ⅱ）当时，得或，这时都有，
得，不适合题意，舍去．
综合（ⅰ）、（ⅱ）知或．
解法二z⁴=cos4θ+isin4θ．
记φ=4θ，得．．==．∵，，
①②③
∴
当①成立时，②恒成立，所以θ应满足
（ⅰ），或（ⅱ），
解（ⅰ）得或．（ⅱ）无解．
综合（ⅰ）、（ⅱ）或．
点评：本题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力；注意分类讨论思想的应用，难度较大．