Question

（2010•成都模拟）在△ABC中，A、B、C为其内角，且tanA与tanB是方程6x²-5x+1=0的两个根．
（I）求tan（A+B）的值；
（II）求函数f(x)=sin(x+

C

2

)-2cos2(

x

2

+

C

4

)+2在x∈[0，π]时的最大值及取得最大值时x的取值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由韦达定理可得tanA+tanB=

5

6

，tanA•tanB=

1

6

，从而可求得tan（A+B）的值；
（Ⅱ）由二倍角的余弦与辅助角公式可将f（x）=sin（x+

C

2

）-2cos2(

x

2

+

C

4

)+2化为：f（x）=

2

sin（x+

π

8

）+1，又0≤x≤π，即可求得其最大值及取得最大值时x的取值．

解答：解：（Ⅰ）由韦达定理得：tanA+tanB=

5

6

，tanA•tanB=

1

6

，
∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanA•tanB

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A+B=

π

4

，又A+B+C=π，
∴C=

3π

4

．
∴f（x）=sin（x+

C

2

）-2cos2(

x

2

+

C

4

)+2
=sin（x+

C

2

）-[1+cos（x+

C

2

）]+2
=

2

sin（x+

C

2

-

π

4

）+1
=

2

sin（x+

π

8

）+1．
∵0≤x≤π，故

π

8

≤x+

π

8

≤

9π

8

，
∴当x+

π

8

=

π

2

，即x=

3π

8

时，f（x）的最大值为

2

+1．

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，着重考查降幂公式与辅助角公式及正弦函数的性质，属于中档题．