Question

证明方程x³＋2x＋12＝0只有一个实根。

 

Answer 1

答案：
解析：

证法一：设f（x）＝x3＋2x＋12。当x＝－2时， f（－2）＝（－2）3＋2×（－2）＋12＝0。 ∴ x＝－2是方程x3＋2x＋12＝0的实根。 又f′（x）＝3x2＋2＞0， ∴ f（x）＝x3＋2x＋12在（－∞，+∞）上单调递增，即对任意实数x1、x2，当x1＞x2（或x1＜x2）时，f（x1）＞f（x2）（或f（x1）＜f（x2））。 ∴ 若存在x1、x2且x1≠x2，使f（x1）＝f（x2）＝0，则与函数f（x）在（－∞，+∞）上单调递增相矛盾。 ∴ 方程x2＋2x＋12＝0只有一个实根。 证法二：x3＋2x＋12＝0，x3＋8＋2x＋4＝0， （x＋2）（x2－2x＋4）＋2（x＋2）＝0，（x＋2）（x2－2x＋6）＝0， ∴ x＋2＝0或x2－2x＋6＝0。∴ x＝－2。 ∵ x2－2x＋6＝0的判别式△＝4－24＝－20＜0。 ∴ x2－2x＋6＝0无实数解。 ∴x2＋2x＋12＝0只有一个实根。