Question

已知向量=（sin，1），=（cos，cos²），f（x）=•．
（1）若f（x）=1，求cos（x+）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC+c=b，求函数f（B）的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）的解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）=1，得出sin（+）的值，最后将所求的式子中的角提取2，利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin（+）的值代入即可求出值；
（2）利用余弦定理表示出cosC，代入已知的等式，整理后代入利用余弦定理表示出的cosA中，得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出B的范围，得出+的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即为f（B）的范围．
解答：解：（1）∵=（sin，1），=（cos，cos²），
∴f（x）=•=sincos+cos²=sin+cos+=sin（+）+，
又f（x）=1，
∴sin（+）=，（4分）
∴cos（x+）=cos2（+）=1-2sin²（+）=；（6分）
（2）∵cosC=，acosC+c=b，
∴a•+c=b，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA==，
又∵A∈（0，π），∴A=，（10分）
又∵0＜B＜，
∴＜+＜，
∴f（B）∈（1，）．（12分）
点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．