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    已知点M到双曲线
    x2
    16
    -
    y2
    9
    =1    的左、右焦点的距离之比为2：3．
    （1）求点M的轨迹方程；
    （2）若点M的轨迹上有且仅有三个点到直线y=x+m的距离为4，求实数m的值．
    分析：（1）确定双曲线的左、右焦点，利用距离之比为2：3，建立方程，化简可得点M的轨迹方程；
    （2）圆上有且仅有三点到直线y=x+m的距离为4，所以圆心到直线y=x+m的距离为8，即可求出结论．
    解答：解：（1）双曲线
    x2
    16
    -
    y2
    9
    =1    的左、右焦点为F1（-5，0），F2（5，0）．…（1分）
    设点M（x，y），则
    MF1
    MF2
    =
    2
    3
    ，即
    		(x+5)2+y2
    		(x-5)2+y2
    =
    2
    3
    ．     …（3分）
    化简得点M的轨迹方程为x2+y2+26x+25=0．        …（7分）
    （2）点M的轨迹方程即为（x+13）2+y2=144，它表示以（-13，0）为圆心，12为半径的圆．       …（9分）
    因为圆上有且仅有三点到直线y=x+m的距离为4，
    所以圆心到直线y=x+m的距离为8，即
    |-13+m|
    		1+1
    =8    ．  …（12分）
    解得 m=13±8
    		2
    ．                                 …（14分）
    点评：本题考查轨迹方程，考查双曲线的几何性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C1
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    以抛物线y2=4
    		3
    x    的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C2与椭圆C1相似，且相似比为2，求椭圆C2的方程．
    （2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C1上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线x2=
    1
    mn
    y    异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x2-4y2=1上．
    （3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线Cb上，若存在求出函数f（b）=SABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知双曲线x2-
    y2
    3
    =1    的焦点F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为（　　）
    A、
    6
    		34
    17
    B、
    4
    		51
    17
    C、
    12
    5
    D、
    5
    12

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列命题：
    ①动点M到两定点A、B的距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1），则动点M的轨迹是圆；
    ②椭圆
    x2
    2b2
    +
    y2
    b2
    =1    的离心率是
    		2
    2
    ；
    ③双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的焦点到渐近线的距离是b；
    ④已知抛物线y2=2px上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且OA⊥OB（O是坐标原点），则y1y2=-p2．
    其中正确命题的序号是
    ①②③
    ①②③
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点F1，F2为双曲线C：x2-
    y2
    b2
    =1(b＞0)    的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且∠MF1F2=300，圆O的方程为x2+y2=b2．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）若双曲线C上的点到两条渐近线的距离分别为d1，d2，求d1•d2的值；
    （3）过圆O上任意一点P（x0，y0）作切线l交双曲线C于A，B两个不同点，求
    OA
    •
    OB
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知双曲线x2-
    y2
    3
    =1    的左、右焦点为F1、F2，过点F2的直线L与其右支相交于M、N两点（点M在x轴的上方），则点M到直线y=
    		3
    x的距离d的取值范围是
     
    ．

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