Question

（2011•西安模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且满足（a+b+c）（a-b+c）=3ac，a＜c．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设

a

=(sinA，cos2C)，

b

=(cosA，sinB)，且p=

a

•

b

，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意可得，a²+c²-b²=ac，结合余弦定理，cosB=

a2+c2-b2

2ac

可求B
（II）由B=

π

3

及a＜c，可得C=

2π

3

-A＞A可求A的范围，利用向量的数量积可求

p

=

a

•

b

，利用三角函数的辅助角公式对函数进行化简，结合正弦函数的性质可求

解答：解：（I）∵（a+b+c）（a-b+c）=3ac
∴a²+c²-b²=ac（3分）
由余弦定理可得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

∵0＜B＜π
∴B=

π

3

（4分）
（II）∵B=

π

3

，a＜c
∴C=

2π

3

-A＞A
∴0＜A＜

π

3

（6分）
∵

a

=(sinA，cos2C)，

b

=(cosA，sinB)
∴

p

=

a

•

b

=sinAcosA+sinBcos2C
=

1

2

sin2A+

3

2

cos(

4π

3

-2A)
=

1

2

sin2A-

3

4

cos2A-

3

4

sin2A
=-

1

4

sin2A-

3

4

cos2A
=-

1

2

sin(2A+

π

3

)（10分）
0＜A＜

π

3

∴

π

3

＜2A+

π

3

＜π
∴0＜sin(2A+

π

3

)≤1
∴-

1

2

≤p＜0（12分）

点评：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，两角和与差的三角函数及辅助角公式的应用，正弦函数性质的应用，属于三角与向量的综合应用．