Question

在△ABC中，已知cos²A＋cos²B＋cos²C＝1，试判断△ABC的形状．

Answer 1

答案：直角三角形．
解析：

将a＝2RsinA，b＝2RsinB代入a²＝b²＋c²－2bccosA，得sin²A＝sin²B＋sin²C－2sinBsinCcosA，即sin²B＋sin²C＝sin²A＋2sinBsinCcosA　①．因为cos²A＋cos²B＋cos²C＝1，所以sin²A＋sin²B＋sin²C＝2　②．将①代入②，得sin²A＋(sin²A＋2sinB·sinCcosA)＝2，即－2cos²A＋2sinBsinCcosA＝0，所以2cosA(sinBsinC－cosA)＝0，所以2cosA[sinBsinC＋cos(B＋C)]＝0，所以cosAcosBcosC＝0，所以cosA＝0或cosB＝0或cosC＝0，所以△ABC是直角三角形．

提示：

将a＝2RsinA，b＝2RsinB代入a²＝b²＋c²－2bccosA，可知sin²A＝sin²B＋sin²C－2sinBsinCcosA等价于a²＝b²＋c²－2bccosA．