Question

（2013•杭州模拟）已知函数f(x)=ax+

a

x

+b（a，b∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为3，若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A．（0，1]
• B．[1，

  9

  8

  ]
• C．(

  9

  8

  ，+∞)
• D．[1，+∞）

Answer 1

分析：先根据图象在点（1，f（1））处得切线在y轴上的截距为3，求得b=3-2a，再将f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，转化为f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立，构造新函数，再进行分类讨论，即可确定a的取值范围．

解答：解：由题意，f（1）=2a+b∵函数f（x）=ax+

a

x

+b（a，b∈R）
∴f′（x）=a-

a

x2

，
∴f′（1）=0；
所以图象在点（1，f（1））处的切线为：y=f（1）=2a+b=3，
∴b=3-2a 若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，即：f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立；
设g（x）=f（x）-x=（a-1）x+

a

x

+3-2a，
∴g′（x）=a-1-

a

x2

，a≤0时，x²＞1，0＜

1

x2

＜1，∴0＜

a

x2

-＜-a，∴a-1-

a

x2

＜-1＜0；
0＜a＜1时，a-1＜0，∴-

a

x2

＜0，∴a-1-

a

x2

＜0；
所以a＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴g（x）＞0不会恒成立，不满足题意；
把a=1代入可得：g（x）=

1

x

+1＞0在（1，+∞） 上恒成立，符合条件；
a＞1时，g′（x）=0 得：x=

a a-1

；
当x＞

a a-1

时，g′（x）＞0；1＜x＜

a a-1

时，g′（x）＜0，
所以g（x）_min=g（

a a-1

）＞0即可，
即：（a-1）

a a-1

+

a

a a-1

+3-2a＞0
∴2

a(a-1)

＞2a-3．
①当1＜a≤

3

2

时，上式恒成立；
②当a＞

3

2

时，平方得：4a²-4a＞4a²-12a+9 即：a＞

9

8

；
∴a＞

3

2

时，符合题意；综上可知：a的取值范围是：[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）．

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查恒成立问题，解题时正确分类，利用导数确定函数的单调性是关键