Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x
（1）当a=2时，求f（x）的零点；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的[1，a]上的最小值和最大值；
（3）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）将函数整理为x（x-3）（x+1），令其为0，即可得到f（x）的零点；
（2）由于x=3是f（x）的极值点，得到f′（3）=0，得到a的值，进而得到函数在区间[1，a]上的单调性，得到函数f（x）的[1，a]上的最小值和最大值；
（3）由于f（x）在[1，+∞）上是增函数，则导函数≥0在区间上恒成立，即转化为a≤（x-），亦即a≤（（x-））_最小值，进而得到a的范围．
解答：解：（1）f（x）=x³-2x²-3x=x（x-3）（x+1）
则f（x）的零点为0，3，-1．
（2）f′（x）=3x²-2ax-3
∵x=3是f（x）的极值点，得到f′（3）=0，
∴a=4   则函数f（x）=x³-4x²-3x
即f′（x）=3x²-8x-3=（3x+1）（x-3）
∴f（x）在[，3]递减，[3，+∞）递增
f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12
∴最小值为-18，最大值为-6
（3）f′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）恒成立．
∵x≥1．∴a≤（x-），
当x≥1时，由于g（x）=（x-）是增函数，g（x）_min=（1-1）=0．
∴a≤0．
点评：本题考查函数的单调性与最值问题，解题的关键是写出函数的极值和函数在两个端点处的值，把这些值进行比较，得到最大值和最小值．