Question

已知三棱锥P—ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,D、F分别为AC、PC的中点,DE⊥AP于点E.

(1)求证:AP⊥平面BDE;

(2)求证:平面BDE⊥平面BDF;

(3)若AE∶EP=1∶2,求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比.

Answer 1

(1)证明：∵PC⊥底面ABC,BD平面ABC,

∴PC⊥BD.

    由AB=BC,D为AC的中点,得BD⊥AC.又PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC.

    又PA平面PAC,∴BD⊥PA.由已知DE⊥PA,DE∩BD=D,

∴AP⊥平面BDE.

(2)证明：由BD⊥平面PAC,DE平面PAC,得BD⊥DE.由D、F分别为AC、PC的中点,得DF∥AP.

    由已知,DE⊥AP,∴DE⊥DF.BD∩DF=D,∴DE⊥平面BDF.

    又∵DE平面BDE,∴平面BDE⊥平面BDF.

(3)解：设点E和点A到平面PBC的距离分别为h₁和h₂,则h₁∶h₂=EP∶AP=2∶3,

∴.

    故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1.