Question

若关于x的方程（2-2^-|x-3|）²=3+a有实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先将a分离出来，再利用换元法令t=2^-|x-3|，则0＜t≤1，将a=（2-2^-|x-3|）²-3转化成关于t的二次函数，最后利用二次函数的性质求出其值域即可．

解答：解：原方程可化为a=（2-2^-|x-3|）²-3，
令t=2^-|x-3|，则0＜t≤1，a=f（t）=（t-2）²-3，
又∵a=f（t）在区间（0，1]上是减函数，
∴f（1）≤f（t）＜f（0），即-2≤f（t）＜1，
故实数a的取值范围为：-2≤a＜1．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及换元法的应用，属于基础题．