Question

求函数y=

2-x- 1 2

的定义域和值域，并指出其单调区间（不必证明）．

Answer 1

分析：直接由根式内部的代数式大于等于0求解指数不等式得函数的定义域；由指数函数的值域结合根式恒大于等于0求解值域，内层函数指数型函数为减函数，外层函数幂函数为增函数，所以函数在其定义域内为减函数．

解答：解：由2-x-

1

2

≥0，得2^-x≥2^-1，解得：x≤1．
∴函数y=

2-x- 1 2

的定义域为（-∞，1]；
∵2^-x＞0，
∴2-x-

1

2

＞-

1

2

，
∴函数y=

2-x- 1 2

的值域为[0，+∞）．
∵g(x)=2-x-

1

2

为R上的减函数，又y=[g(x)]

1

2

为定义域内的增函数，
∴函数y=

2-x- 1 2

的减区间为（-∞，1]．

点评：本题考查了复合函数的单调性，考查了函数的定义域及值域的求法，复合函数的单调性满足同增异减的原则，是中档题．