Question

正方体AC₁的棱长为a．

(1)求证：BD⊥平面ACC₁A₁；

(2)设P为D₁D中点，求点P到平面ACC₁A₁的距离．

Answer 1

 证明：(1)∵ AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，且AB∩AD＝A，

∴ AA₁⊥平面ABCD．

又BD平面ABCD，∴ AA₁⊥BD．

又AC⊥BD，AA₁∩AC＝A，∴ BD⊥平面ACC₁A₁．

 (2)∵ DD₁∥AA₁，AA₁平面ACC₁A₁，

∴ DD₁∥平面ACC₁A₁．

∴ 点P到平面ACC₁A₁的距离即为直线DD₁到面ACC₁A₁的距离. 也就是点D到平面AC­C₁A₁的距离，设AC ∩BD＝O，则DO的长度是点D到平面AC­C₁A₁的距离．

容易求出DO＝a．∴ P到平面ACC₁A₁的距离为a．