Question

如图，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点.

（1）求证：BM∥平面PAD；

（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置，若不存在，说明理由；

（3）求直线PC与平面PBD所成的角的正弦值.

Answer 1

（1）证明：取PD的中点E，连结EM、AE，∵M是PC的中点，

∴EMCD.又ABCD，

∴ABEM，

∴ABME是平行四边形，∴BM∥AE，

∴BM∥平面PAD.

（2）证明：以A为原点，以AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），

∴M=（1，1，1），=（-1，2，0），

=（1，0，-2）.

设N（0,y,z）则=（-1，y-1,z-1），若MN⊥平面PBD.

则MN⊥BD，MN⊥PB.

∴y=,z=,

∴N(0,,).

∴在平面PAD内存在一点N（0，，）使MN⊥面PBD.

（3）解：设平面PBD的法向量为n，令n==(-1,-,-),=(2,2,-2),

∴cos(,n)=，

∴直线PC与面PBD所成角的正弦值为.