Question

若x=

π

6

是f(x)=

3

sinωx+cosωx，(ω＞0）图象的一条对称轴，当ω取最小值时（　　）

• A．f（x） 在(0，

  π

  3

  )上单调递增
• B．f（x） 在(-

  π

  3

  ，

  π

  6

  )上单调递减
• C．f（x） 在(0，

  π

  3

  )上单调递减
• D．f（x） 在(-

  π

  3

  ，

  π

  6

  )上单调递增

Answer 1

分析：由于f（x）=2sin（ωx+

π

6

），利用

π

6

ω+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）可求得ω的最小值，从而可得答案．

解答：解：∵f（x）=

3

sinωx+cosωx=2sin（ωx+

π

6

），
∵x=

π

6

是f（x）的图象的一条对称轴，
∴

π

6

ω+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），
∴ω=6k+2，又ω＞0，
∴ω_min=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴当2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

π

6

（k∈Z）时单调递增，
当2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z）时单调递减，
显然，当k=0时，f（x）在[-

π

3

，

π

6

]上单调递增，在[

π

6

，

2π

3

]上单调递减，故D正确，A，B，C均错误．
故选D．

点评：本题考查两角和与差的三角函数的性质，考查正弦函数的性质，求得ω的最小值是关键，也是难点，属于中档题．