Question

袋中装有m个红球和n个白球，m≥n≥2，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同.从袋中同时取出2个球，

(1)若取出的是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证m必为奇数.

(2)在m、n的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求适合m+n≤40的所有数组(m,n).

Answer 1

解：(1)设取出的2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k倍(k为整数)，则有

.

∴=kmnm=2kn+1.

∵k∈Z,n∈Z,

∴m=2kn+1为奇数.

(2)由题意，有.

∴=mn.

∴m²-m+n²-n-2mn=0,

    即(m-n)²=m+n                                  ①

∵m≥n≥2,∴m+n≥4.

∴4≤m+n≤40.

∴m-n的取值只可能是2，3，4，5，6.

    相应的m+n的取值分别是4，9，16，25，36，

    即或或或或

    解得或或或或

    注意到m≥n≥2,∴(m,n)的数组值为(6，3)，(10，6)，(15，10)，(21，15).