Question

已知递减的等比数列{a_n}，各项均正，且满足

a1+a2+a3+a4+a5= 121 3 1 a1 + 1 a2 + 1 a3 + 1 a4 + 1 a5 = 121 27

（1）求a₃；
（2）求数列{a_n}的公比q．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的通项公式，将原方程组等价于

a1(1+q+q2+q3+q4)= 121 3 ，① 1 a5 (q4+q3+q2+q+1)= 121 27 ．②

两式相除即可求出结果．
（2）将a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=

121

3

化为a3(

1

q2

+q2)+a3+a3(

1

q

+q)=

121

3

，整理即可求得q．

解答：解：（1）依题意，原方程组等价于

a1(1+q+q2+q3+q4)= 121 3 ，① 1 a5 (q4+q3+q2+q+1)= 121 27 ．②

将以上两式相除得  a₁a₅=9，即a₃²=9．因a_n＞0，故a₃=3．
（2）注意到a1=

a3

q2

，a2=

a3

q

，a₄=a₃q，a₅=a₃q²，于是a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=

121

3

又可化为a3(

1

q2

+q2)+a3+a3(

1

q

+q)=

121

3

，
变形得  (

1

q

+q)2+

1

q

+q=

130

9

．
解得  

1

q

+q=

10

3

（另一解为负，不合，舍去），
从而  q=

1

3

（q=3，不合，舍去）．

点评：本题考查了等比数列的性质，要注意等比数列是递减的而且各项均为正，属于基础题．