Question

函数f（x）= 4x³+ax²+bx+5的图在x=1处的切线方程为y=－12x； 

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）在  [—3，1]上的最值

Answer 1

（1）f（x）＝4x³―3x²―18x＋5

（2）f（x）在[－3，1]上的最小值为－76，最大值为16

解析:

（1）f ¹（x）＝ 12x²＋2ax＋b                -----------------------------------2 分                                              

            ∵y ＝f（x）在x＝1处的切线方程为　y＝－12x

∴即

解得：a＝－3    b＝－18       -------------------------------6分

∴f（x）＝4x³―3x²―18x＋5　    ----------------------------------------------7分

   （2）∵f ¹（x）＝ 12x²－6x－18＝6（x＋1）（2x－3）

      

   令f ¹（x）＝0  解得：x＝－1或x＝     --------------------------------------9分

    

  ∴ 当x＜－1或x＞时，f ¹（x）＞0

      

   当－1＜ x＜时， f ¹（x）＜0          ----------------------------------------11分

∵ x∈[－3，1]

∴ 在[－3，1]上无极小值，有极大值f（－1）＝16

又∵f（－3）＝－76    f（1）＝-12           

∴f（x）在[－3，1]上的最小值为－76，最大值为16。-------------------------------13分