Question

已知长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁，E为AB中点，M为A₁D中点，AA₁=AD=2，AB=4．

① 求证AM∥平面A₁EC，平面A₁EC⊥平面A₁DC；

② 求点A到平面A₁EC的距离；

③ 求平面A₁AD与平面A₁EC所成二面角的大小．

 

Answer 1

答案：
解析：

解 ① 设F是A1C中点，连接EF，MF， 则 MF∥CD，MF=CD， ∴ MF∥AE，MF=AE， 四边形AEFM是平行四边形，AM∥EF， ∴ AM∥平面A1EC． ∵ AA1=AD，M为A1D中点， ∴ AM⊥A1D， 又CD⊥平面A1AD，CD⊥AM， ∴AM⊥平面A1DC， ∴EF⊥平面A1DC， 于是平面A1EC⊥平面A1DC； ② 作MN⊥A1C，垂足是N， ∵ 平面A1EC⊥平面A1DC， ∴ MN⊥平面A1EC，又AM∥平面A1EC， ∴ MN是点A到平面A1EC的距离． 在直角△A1DC中，A1D=2，DC=4，   MN==． ③ ∵ AM∥平面A1EC ∴ 平面A1AD与平面A1EC的交线m∥AM， AM⊥A1D，EF⊥A1C， ∴ ∠DA1C是平面A1AD与平面A1EC所成二面角的平面角， 在直角△A1DC中， tan∠DA1C==， ∠DA1C=arctan．