Question

已知抛物线y=-x²+2，过其上一点P引抛物线的切线l,使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程.

Answer 1

解:设切点P(x₀,-x₀²+2)(x₀＞0),

    由y=-x²+2得y′=-2x,∴k₁=-2x₀.

    ∴l的方程为y-(-x₀²+2)=-2x₀(x-x₀).

    令y=0，得x=.

    令x=0，得y=x₀²+2,

    ∴三角形的面积为

    S=··(x₀²+2)=.

    ∴S′=.

    令S′=0，得x₀=(∵x₀＞0),

    ∴当0＜x₀＜时，S′＜0；

    当x₀＞时，S′＞0.

    ∴x₀=时，S取极小值.

    ∵只有一个极值，∴x=时S最小，此时k₁=-,切点为(,).

    ∴l的方程为y-=-(x-),

    即2x+3y-8=0.