Question

已知函数f（x）=x-lnx，g(x)=lnx+

a

x

，（a＞0）．
（1）求函数g（x）的极值；
（2）已知x₁＞0，函数h(x)=

f(x)-f(x1)

x-x1

，x∈（x₁，+∞），判断并证明h（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则可得f′（x），令f′（x）=0解出x，再验证是否满足取得极值的条件即可；
（2）利用导数的运算法则即可得出h′（x），再利用（1）判断h′（x）与0的关系即可得出其单调性．

解答：解：（1）g′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，令g'（x）=0，得x=a．
当x∈（0，a）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；
当x∈（a，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数．
∴当x=a时，g（x）有极小值lna+1，g（x）无极大值．
（2）h′(x)=

f′(x)(x-x1)-f(x)+f(x1)

(x-x1)2

=

(1- 1 x )(x-x1)-x+lnx+x1-lnx1

(x-x1)2

=

x1 x +lnx-1-lnx1

(x-x1)2

，
由（1）知φ(x)=

x1

x

+lnx在[x₁，+∞）上是增函数，
当x∈（x₁，+∞）时，φ（x）＞φ（x₁），
即

x1

x

+lnx＞1+lnx1，
∴h'（x）＞0，即h（x）在（x₁，+∞）上是增函数．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．