Question

（2012•房山区二模）已知函数f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x．
（Ι）求函数f（x）的最小正周期；     
（ΙΙ） 当x∈[

π

4

，

3π

4

]时，求函数f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+

π

3

）+

3

，可得 f（x）的最小正周期正周期为π．
（II）根据

π

4

≤x≤

3π

4

，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最大值与最小值．

解答：解：（I）∵函数f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x=sin2x+2

3

•

1+cos2x

2

=sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin（2x+

π

3

）+

3

，
∴f（x）的最小正周期正周期为π． …（6分）
（II）∵

π

4

≤x≤

3π

4

，∴

5π

6

≤2x+

π

3

≤

11π

6

，
∴当 2x+

π

3

=

5π

6

 时，f（x）有最大值1+

3

；
当2x+

π

3

=

3π

2

 时，f（x）有最小值-2+

3

．…（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．