Question

如图某市现有自市中心O通往正西和北偏东30°方向的两条主要公路，为了解决该市交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路．分别在通往正西和北偏东30°方向的公路上选用A、B两点，使环城公路在A、B间为直线段，要求AB路段与市中心O的距离为10 km，且使A、B间的距离|AB|最小．请你确定A、B两点的最佳位置．

Answer 1

答案：
解析：

如图，令|OA|＝a，|OB|＝b，则在△AOB中，∠AOB＝120°　　2分 　　∴|OC||AB|＝absin120°． 　　∴|AB|＝　①　　4分 　　又由余弦定理， 　　|AB|＝，(当a＝b时取等号．)　②　　6分 　　由①②知≥3ab． 　　∵ab＞0，∴ab≥400　③　　8分 　　③代入①得|AB|＝≥20． 　　当a＝b时|AB|取得最小值　　10分 　　而a＝b时，△AOB为等腰三角形， 　　∴∠OAB＝∠OBA＝30°． 　　∴a＝b＝20． 　　∴A、B两点的最佳位置是距市中心O均为20 km处　　12分