Question

已知函数()．

（1）求函数的极值;

（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数的定义域为，

，……………3分

令，解得，列表

	－	－	0	+
	单调递减	单调递减	极小值	单调递增

由表得函数的单调减区间为，，单调减区间为；

所以极小值为＝，无极大值.

（2）当时，对任意，不等式恒成立；

 当时，在两边取自然对数，得，

当时，，当，不等式恒成立；

如果，， ，不等式等价于，

由(1)得，此时，不等式不恒成立.

当时，，则,不等式等价于,

由(1)得，此时的最小值为，

得.…………14分

综上：的取值范围是.

【说明】本题考查用导数判断函数单调性、求极值、对数函数的性质、转化化归思想、分类讨论思想、不等式的性质、恒成立问题处理方法.