Question

如图，在三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB.

（1）求证：AB⊥平面PCB；

（2）求二面角C-PA-B的余弦值.

Answer 1

（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，

∴PC⊥AB.

∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，

∴CD⊥AB.

又∵PC∩CD=C，

∴AB⊥平面PCB.

（2）解法一：取PA的中点E，连结CE、DE.

∵PC=AC=2，∴CE⊥PA，CE=.∵CD⊥平面PAB，

由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA.

∴∠CED为二面角C-PA-B的平面角.

由（1）得AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC.

又∵AB=BC，AC=2，求得BC=.

解法二：∵AB⊥BC，AB⊥平面PBC，过点B作直线l∥PA，

则l⊥AB，l⊥BC，以BC、BA、l所在直线为x、y、

z轴建立空间直角坐标系（如图）.

设平面PAB的法向量为m=(x,y,z).

A(0,,0),P(,0,2),C(,0,0),

∴=(0,2,0),=(,-,2).

则

即

解得令z=-1,

得m=(,0,-1).

设平面PAC的法向量为n=(x₁,y₁,z₁)，

=(0,0,2),AC=(2,-2,0),

则即

解得令x₁=1,得n=(1,1,0).

∴cos〈m,n〉=.

∴二面角C-PA-B的大小为arccos.

解法三：∵CD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量.

取AC的中点F，∵AB=BC=，∴BF⊥AC.

又∵PC⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，

∴BF⊥平面PAC.∴是平面PAC的一个法向量.

=(+).

设=λ+(1-λ),∵⊥BP,即·=0,

得(λ+(1-λ))·(-)=0,由(1)知·=0,·=0,

∴λ||²-(1-λ)||²=0.而||=2,||=2,

∴λ=.∴CD=CP+CB.

||²=×4+×2=,||²=×(2+2)=1,

∴cos〈,〉==.