Question

已知正三棱锥P—ABC的体积为72,侧面与底面所成的二面角的大小为60°.

(1)证明PA⊥BC;

(2)求底面中心O到侧面的距离.

Answer 1

(1)证明:取BC边的中点D,连结AD、PD,则AD⊥BC,PD⊥BC,故BC⊥平面APD.

∴PA⊥BC.

(2)解:如下图,由(1)可知平面PBC⊥平面APD,则∠PDA是侧面与底面所成二面角的平面角.

    过点O作OE⊥PD,E为垂足,则OE就是点O到侧面的距离.

    设OE为h,由题意可知点O在AD上,

    ∴∠PDO=60°,OP=2h,OD=.

    ∴BC=4h.又V_P—ABC=72,

   ∴72=×4(4h)²·2h.

    ∴h=3,即O到侧面的距离是3.