Question

如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y²=2px（P＞0）的准线的距离为．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．
（1）求p，t的值．
（2）求△ABP面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过点P（1，）到抛物线C：y²=2px（P＞0）的准线的距离为．列出方程，求出p，t的值即可．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为Q（m，m），设直线AB的斜率为k，（k≠0），利用推出AB的方程y-m=．利用弦长公式求出|AB|，设点P到直线AB的距离为d，利用点到直线的距离公式求出d，设△ABP的面积为S，求出S==|1-2（m-m²）|．利用函数的导数求出△ABP面积的最大值．
解答：解：（1）由题意可知得，．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为Q（m，m），
由题意可知，设直线AB的斜率为k，（k≠0），
由得，（y₁-y₂）（y₁+y₂）=x₁-x₂，
故k•2m=1，
所以直线AB方程为y-m=．
即△=4m-4m²＞0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=2m²-m．
从而|AB|==，
设点P到直线AB的距离为d，则
d=，
设△ABP的面积为S，则
S==|1-2（m-m²）|．
由△=＞0，得0＜m＜1，
令u=，，则S=u（1-2u²），，
则S′（u）=1-6u²，S′（u）=0，得u=，
所以S_最大值=S（）=．
故△ABP面积的最大值为．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的简单性质，函数与导数的应用，函数的最大值的求法，考查分析问题解决问题的能力．