Question

已知等差数列{a_n}满足：a_n＋1＞a_n(n∈N_＋)，a₁＝1，该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项.

(1)分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n，b_n.

(2)设T_n＝＋＋…＋(n∈N_＋)，若T_n＋－＜c(c∈Z)恒成立，求c的最小值.

Answer 1

(1)设d、q分别为数列{a_n}、数列{b_n}的公差与公比.

由题意知，a₁＝1，a₂＝1＋d，a₃＝1＋2d，分别加上1,1,3后得2,2＋d,4＋2d是等比数列{b_n}的前三项，

∴(2＋d)²＝2(4＋2d)⇒d＝±2.

∵a_n＋1＞a_n，∴d＞0.

∴d＝2，∴a_n＝2n－1(n∈N_＋).

由此可得b₁＝2，b₂＝4，q＝2，

∴b_n＝2ⁿ(n∈N_＋).

(2)T_n＝＋＋…＋

＝＋＋＋…＋①

当n＝1时，T₁＝；当n≥2时，T_n＝＋＋＋…＋②

①－②，得T_n＝＋2×(＋＋…＋)－.

∴T_n＝1＋－＝3－－

＝3－.

∴T_n＋－＝3－＜3.

∵(3－)∈[2,3)，

∴满足条件T_n＋－＜c(c∈Z)恒成立的c的最小整数值为3.