Question

已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）在曲线C上是否存在点Q，使得△MNQ的面积？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设动点坐标，利用，可得轨迹方程，从而可得动点P的轨迹C；
（2）利用面积求得点Q的纵坐标，代入椭圆方程，即可求得点Q的坐标．
解答：解：（1）设动点P（x，y），又点M（4，0）、N（1，0），
∴，，．  …（3分）
由，得，…（4分）
∴（x²-8x+16）=4（x²-2x+1）+4y²，故3x²+4y²=12，即．
∴轨迹C是焦点为（±1，0）、长轴长2a=4的椭圆；            …（7分）
（2）设曲线C上存在点Q（x，y）满足题意，则．    …（9分）
∴，
又|MN|=3，故|y|=1．           …（11分）
∵，∴．        …（12分）
∴．                                  …（13分）
∴曲线C上存在点使得△MNQ的面积．…（14分）
点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．