Question

（2010•马鞍山模拟）若a＞0，b＞0，且a+b=1，则3

a+1

+4

b+1

的最大值是

5

3

．

Answer 1

分析：根据a＞0，b＞0，且a+b=1，可得（a+1）+（b+1）=3，（a+1＞1，b+1＞1），可令

a+1

=

3

cosθ，

b+1

=

3

sinθ，利用三角函数中的辅助角公式即可解决问题．

解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴（a+1）+（b+1）=3，（a+1＞1，b+1＞1），
令

a+1

=

3

cosθ，

b+1

=

3

sinθ，
则3

a+1

+4

b+1

=3

3

cosθ+4

3

sinθ=

3

（3cosθ+4sinθ）=5

3

sin（θ+φ）（其中tanφ=

3

4

）．
故答案为：5

3

．

点评：本题考查基本不等式，难点在于由“a+b=1，可得（a+1）+（b+1）=3，即(

a+1

)2+(

b+1

)2=3”从而进行三角换元，考查学生的转化思想，属于难题．