Question

如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC₁＝3，BE＝1．

(Ⅰ)求BF的长；

(Ⅱ)求点C到平面AEC₁F的距离．

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力． 　　解法1：(Ⅰ)过E作EH∥BC交CC1于H，则CH＝BE＝1，EH∥AD，且EH＝AD． 　　又∵AF∥EC1，∴∠FAD＝∠C1EH． 　　∴Rt△ADF≌Rt△EHC1．∴DF＝C1H＝2． 　　 　　(Ⅱ)延长C1E与CB交于G，连AG，则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG． 　　过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AG⊥C1M．由于AG⊥面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC．在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离． 　　 　　解法2：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)．设F(0，0，z)． 　　∵AEC1F为平行四边形， 　　 　　(Ⅱ)设为平面AEC1F的法向量， 　　 　　 　　 　　的夹角为a，则 　　 　　∴C到平面AEC1F的距离为