Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且经过点（2，0）
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）若与坐标轴不垂直的直线l经过椭圆C的左焦点F（-c，0），且与椭圆C交于不同两点A，B，问是否存在常数λ，（λ为实数），使|AB|=λ|AF||BF|恒成立，若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l的方程为x=my-$\sqrt{3}$，与椭圆方程联立，消去x得：（m²+4）y²-2$\sqrt{3}$my-1=0，利用弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意，a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）F（-$\sqrt{3}$，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为x=my-$\sqrt{3}$，
与椭圆方程联立，消去x得：（m²+4）y²-2$\sqrt{3}$my-1=0，
y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{m}^{2}+4}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=$\frac{4（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+4}$，
∵|AF||BF|=|y₁y₂|（1+m²）=$\frac{1+{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$，
∴|AB|=4|AF||BF|，
∴存在常数λ=4，使|AB|=λ|AF||BF|恒成立．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．