Question

已知m是非零实数，抛物线C：y²＝2px(p＞0)的焦点F在直线l：x－my－＝0上．

(Ⅰ)若m＝2，求抛物线C的方程；

(Ⅱ)设直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的准线的垂直，垂足为A₁，B₁，△AA₁F，△BB₁F的重心分别为G，H．求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：因为焦点F(，0)在直线l上，得 　　p＝m2， 　　又m＝2，故p＝4． 　　所以抛物线C的方程为y2＝8x． 　　(Ⅱ)证明：因为抛物线C的焦点F在直线l上， 　　所以p，lm2， 　　所以抛物线C的方程为y2＝2m2x． 　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 　　由消去x得 　　y2－2m3y－m4＝0， 　　由于m≠0，故Δ＝4m6＋4m4＞0， 　　且有y1＋y2＝2m3，y1y2＝－m4， 　　设M，M2分别为线段AA1，BB1的中点， 　　由于2 　　可知G()，H()， 　　所以 　　 　　所以GH的中点M． 　　设R是以线段GH为直径的圆的半径， 　　则R2＝(m2＋4)(m2＋1)m2． 　　设抛物线的准线与x轴交点N(－，0)， 　　则＝ 　　＝m4(m4＋8m2＋4) 　　＝m4[(m2＋1)( m2＋4)＋3m2]＞m2(m2＋1)( m2＋4)＝R2． 　　故N在以线段GH为直径的圆外．