Question

已知椭圆的焦距为4，设右焦点为F₁，离心率为e．
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，AF₁的中点为M，BF₁的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．
①证明点A在定圆上；
②设直线AB的斜率为k，若，求e的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的焦距为4，，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（2）①设出A的坐标，利用AF₁的中点为M，BF₁的中点为N，求出M、N的坐标，根据原点O在以线段MN为直径的圆上，可得OM⊥ON，从而可得结论；
②直线方程与椭圆、圆联立，表示出k，根据，即可求e的取值范围．
解答：解：（1）由题意，，∴c=2，a=2，∴=2
∴椭圆的方程为；
（2）①证明：设A（x，y）则B（-x，-y）
因为椭圆的方程为，所以右焦点F₁（2，0），M（，），N（，-），
∵原点O在线段MN为直径的圆上，∴OM⊥ON，
∴，
∴x²+y²=4，∴点A在定圆上．
②解：由，可得，∴
将e==，b²=a²-c²=，代入上式可得
∵，∴
∴
∵0＜e＜1
∴＜e≤．
点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，考查学生的计算能力，属于中档题．