Question

(22)如图,P是抛物线C:y=x²上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.

(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;

(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求+的取值范围.

 

Answer 1

(22)本小题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程的方法,解析几何的基本思想和综合解题能力.

解：

(Ⅰ)设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),M(x₀,y₀),依题意x₁≠0,y₁>0,y₂>0.

由y=x²,               ①

得y′=x.

∴过点P的切线的斜率k_切=x₁.

∵x₁=0不合题意,∴x₁≠0.

∴直线l的斜率k_l=－=－,

直线l的方程为y－x₁²=－(x－x₁).                  ②

方法一：

联立①②消去y,得x²+－x₁²－2=0.

∵M为PQ的中点,

∴

消去x₁,得y₀=x₀²++1(x₀≠0),

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²++1(x≠0).

方法二:

由y₁=x₁²,y₂=x₂²,x₀=,

得y₁－y₂=x₁²－x₂²=(x₁+x₂)(x₁－x₂)=x₀(x₁－x₂),

则x₀==k_l=－,

∴x₁=－,

将上式代入②并整理,得

y₀=x₀²++1(x₀≠0),

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²++1(x≠0).

(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b).

分别过P、Q作PP′⊥x轴,QQ′⊥y轴,垂足分别为P′、Q′,则

+=+=+.

方法一:

∴+=|b|(+)≥2|b|=2|b|=2.

∵y₁、y₂可取一切不相等的正数,

∴+的取值范围是(2,+∞).

方法二:

∴+=|b|=|b|.

当b>0时, +=b==+2>2;

当b<0时, +=－b=.

又由方程③有两个相异实根,得Δ=4(k²+b)²－4b²=4k²(k²+2b)>0,

于是k²+2b>0,即k²>－2b.

所以+ >=2.

∵当b>0时,可取一切正数,

∴+的取值范围是(2,+∞).

方法三：

由P、Q、T三点共线得k_TQ=k_TP,

即=.

则x₁y₂－bx₁=x₂y₁－bx₂,即b(x₂－x₁)=(x₂y₁－x₁y₂).

于是b==－x₁x₂.

∴+ =+=+=+≥2.

∵可取一切不等于1的正数,

∴+的取值范围是(2,+∞).