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(文)已知函数f(x)=ax3-bx2+9x+2,若f(x)在x=1处的切线方程是3x+y-6=0.
(1)求f(x)的解析式及单调区间;
(2)若对于任意的,都有f(x)≥t2-2t-1成立,求函数g(t)=t2+t-2的最小值及最大值.
【答案】分析:(1)易求切点坐标(1,3),由题意可得f(1)=3,f′(1)=-3,从而可得关于a,b的方程组,解出可得f(x)解析式,然后解不等式f′(x)>0,f′(x)<0可得函数的单调区间;
(2)对于任意的,都有f(x)≥t2-2t-1成立,等价于,从而可求t的范围,在该范围内,利用二次函数的性质可求g(t)的最大值、最小值;
解答:解:(1)切点坐标为(1,3),
f′(x)=3ax2-2bx+9,
由题意可得,即
解得a=4,b=12,
所以f(x)=4x3-12x2+9x+2,
f′(x)=12x2-24x+9,
令f′(x)>0,得x<或x>,令f′(x)<0,得
所以f(x)的增区间为(-∞,)和(),减区间为();
(2)由(1)知,f(x)在[]上递增,在[]上递减,在[]递增,
且f()=,f()=2,f()>f(),
所以f(x)在[,2]上的最小值为2,
由f(x)≥t2-2t-1在[,2]上恒成立,得2≥t2-2t-1,即)t2-2t-3≤0,解得-1≤t≤3,
g(t)=t2+t-2=
当t=-时,,当t=3时,g(t)max=10.
点评:本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值,考查转化思想,考查学生解决问题的能力.
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精英家教网(文)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P(-1,1).
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(理) 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交线段B1C于点F.以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图.
(Ⅰ)求证:A1C⊥平面BED;
(Ⅱ)求A1B与平面BDE所成角的正弦值的大小.

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(文)已知函数f(x)=ax3-bx2+9x+2,若f(x)在x=1处的切线方程是3x+y-6=0.
(1)求f(x)的解析式及单调区间;
(2)若对于任意的x∈[
14
,2]
,都有f(x)≥t2-2t-1成立,求函数g(t)=t2+t-2的最小值及最大值.

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(文)已知函数f(x)=x2lnx.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若b∈[-2,2]时,函数h(x)=
1
3
x3lnx-
1
9
x3-(2a+b)x
,在(1,2)上为单调递减函数.求实数a的范围.

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(文)已知函数f(x)=x3-x.
(I)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;
(II)设常数a>0,如果过点P(a,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求m的取值范围.

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(文)已知函数f(x)=2sinx+3tanx.项数为27的等差数列{an}满足an∈(-
π
2
π
2
)
,且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,则当k值为
13
13
时有f(ak)=0.

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