Question

（2012•张掖模拟）已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0且0＜φ≤π）为奇函数，其图象与x轴的所有交点中最近的两交点间的距离为π，则f（x）的一个单调递增区间为（　　）

• A．[-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ]
• B．[0，π]
• C．[

  π

  2

  ，

  3π

  2

  ]
• D．[π，2π]

Answer 1

分析：先利用函数的图象性质：相邻两个零点的最近距离为半个周期，求得函数的周期，进而求得ω的值，再利用函数为奇函数，求得函数的初相φ，进而确定函数的解析式，利用正弦函数的单调性求函数的单调增区间即可

解答：解：已知函数f（x）的图象与x轴的所有交点中最近的两交点间的距离为π
∴函数f（x）的周期为2π，∴ω=1
∵函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0且0＜φ≤π）为奇函数
∴φ=kπ+

π

2

，且0＜φ≤π
∴φ=

π

2

∴f（x）=2cos（x+

π

2

）=-2sinx
由正弦函数的图象性质得[

π

2

，

3π

2

]为其一个单调递增区间
故选 C

点评：本题主要考查了y=Acos（ωx+φ）型函数的图象和性质，由函数的部分性质推函数解析式的方法，函数周期和单调区间的求法，属基础题