Question

在三棱锥P-ABCD中，底面ABC为直角三角形，AB=BC，PA=2AB，PA⊥平面ABC．
（1）证明：BC⊥PB；
（2）求PB与平面PAC所成的角；
（3）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由△ABC为直角三角形，AB=BC，知AB⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，知PA⊥BC，BC⊥平面PAB，由此能够证明BC⊥PB．
（2）作AC中点D，连接BD，PD，由AB=BC，知BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，知BD?平面ABC，由此能求出PB与平面PAC所成的角．
（3）作BE⊥PC，交PC于点E，连接DE，由（2）知∠BED为二面角A-PC-B的平面角，由此能求出二面角A-PC-B的余弦值．

解答：（1）证明：∵△ABC为直角三角形，AB=BC，
∴AB⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴BC⊥PB．
（2）解：作AC中点D，连接BD，PD，
∵AB=BC，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，∴BD?平面ABC，
∴BD⊥PA，∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∴∠BPD为PB与平面PAC所成的角，记∠BPD=θ，
令AB=1，得PA=2，BC=1，
∴PB=

5

，BD=

2

2

，
∴sinθ=

BD

PB

=

10

10

，
∴θ=arcsin

10

10

．
（3）解：作BE⊥PC，交PC于点E，连接DE，
由（2）知∠BED为二面角A-PC-B的平面角，
∴PC=

6

，BE=

5

6

，
∴sin∠BED=

BD

BE

=

15

5

，
∴cos∠BED=

10

5

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，直线与平面所成的角的求法，二面角的余弦值的计算，解题时要认真审题，注意化立体问题为平面问题．