Question

扇形OAB的圆心角∠AOB=

2π

3

，点P在圆弧AB上运动，且满足

OP

=x

OA

+y

OB

，则x+y的取值范围为

[1，2]

．

Answer 1

分析：

OC

与

OA

夹角为θ（0≤θ≤

2π

3

），设

OA

为直角坐标系的x轴，求出三个向量坐标，进而利用同角三角函数的平方关系，可得到x+y=2sin（θ+

π

6

），结合三角函数的图象和性质，可得答案．

解答：解：记

OC

与

OA

夹角为θ（0≤θ≤

2π

3

），设

OA

为直角坐标系的x轴．
则

OC

=（cosθ，sinθ），

OA

=（1，0），

OB

=（-

1

2

，

3

2

）
代入

OC

=x

OA

+y

OB

，有（cos θ，sin θ）=（x，0）+（-

y

2

，

3 y

2

）
联立方程组：x-

y

2

=cosθ，

3 y

2

=sin θ
故x+y=2sin（θ+

π

6

）
∵0≤θ≤

2π

3

，
∴

π

6

≤θ+

π

6

≤

5π

6

当θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

3

时，x+y取最大值2
当θ+

π

6

=

π

6

或

5π

6

，即θ=0＜或

2π

3

时，x+y取最小值1
故答案为：[1，2]

点评：本题考查的知识点是平面向量的基本定理及其意义，其中建立坐标系，引入坐标法是解答的关键．