已知集合MD是满足下列性质的函数f的定义域为D.对于任意的x1.x2∈D(x1≠x2)有|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|．时.证明函数f(x)＝属于MD, 时.函数f(x)＝lnx是否属于MD?若属于MD.给予证明.否则请说明理由．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知集合M_D是满足下列性质的函数f(x)的全体．若函数f(x)的定义域为D，对于任意的x₁、x₂∈D(x₁≠x₂)有|f(x₁)－f(x₂)|＜|x₁－x₂|．

(1)当D＝(0，＋∞)时，证明函数f(x)＝属于M_D；

(2)当D＝(0，＋∞)时，函数f(x)＝lnx是否属于M_D？若属于M_D，给予证明，否则请说明理由．

答案：
解析：

　　(1)证明对于f(x)＝，|f(x₁)－f(x₂)|＝||＝|

　　|＝||．

　　∵x₁、x₂∈(0，＋∞)，

　　∴＋＞2．

　　因此|f(x₁)－f(x₂)|＝||＜||＜|x₁－x₂|．

　　∴f(x)＝x＋1∈M_D

　　(2)解：取x₁＝＋，x₂＝1，满足x₁、x₂∈D，则|f(x₁)－f(x₂)|＝|ln－ln1|＝|－2－0|＝2．

　　因为|x₁－x₂|＝|－1|＜1＜2＝|f(x₁)－f(x₂)|，所以f(x)＝lnxM_D

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（1）已知函数f（x）=-x²+4（x∈（-1，2）），P、Q是f（x）图象上的任意两点．
①试求直线PQ的斜率k_PQ的取值范围；
②求f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围；
（2）由（1）你能得出什么结论？（只须写出结论，不必证明），试运用这个结论解答下面的问题：已知集合M_D是满足下列性质函数f（x）的全体：若函数f（x）的定义域为D，对任意的x₁，x₂∈D，（x₁≠x₂）有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．
①当D=（0，1）时，f（x）=lnx是否属于M_D，若属于M_D，给予证明，否则说明理由；
②当D=(0，

)，函数f（x）=x³+ax+b时，若f（x）∈M_D，求实数a的取值范围．

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已知集合M_D是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立．
（Ⅰ）当D=R时，f（x）=x是否属于M_D？说明理由；
（Ⅱ）当D=[0，+∞）时，函数f(x)=

x+1

属于M_D，求k的取值范围；
（Ⅲ）现有函数f（x）=sinx，是否存在函数g（x）=kx+b（k≠0），使得下列条件同时成立：
①函数g（x）∈M_D；
②方程g（x）=0的根t也是方程f（x）=0的根，且g（f（t））=f（g（t））；
③方程f（g（x））=g（f（x））在区间[0，2π）上有且仅有一解．若存在，求出满足条件的k和b；若不存在，说明理由．

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