Question

已知=(x∈R)在区间［-1,1］上是增函数.

       (1)求实数a的值所组成的集合A;

       (2)设关于x的方程=的两根为x₁、x₂,试问:是否存在实数m,使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

      

Answer 1

解析:(1) =,?

       ∵在［-1,1］上是增函数,?

       ∴≥0对x∈［-1,1］恒成立,?

       即x²-ax-2≤0对x∈［-1,1］恒成立.①?

       设φ(x)=x²-ax-2.?

       方法一:①-1≤a≤1.?

       ∵对x∈［-1,1］, 是连续函数,且只有当a=1时,f′(-1)=0以及当a=-1时,f′(1)=0,

       ∴A={a|-1≤a≤1}.?

       方法二:①0≤a≤1或-1≤a≤0?

?    -1≤a≤1.?

       ∵对x∈［-1,1］, 是连续函数,且只有当a=1时,f′(-1)=0以及当a=-1时,f′(1)=0.

       ∴A={a|-1≤a≤1}.?

       (2)由,得x²-ax-2=0.?

       ∵Δ=a²+8>0,∴x₁、x₂是方程x²-ax-2=0的两实根.

       ∴?

       从而|x₁-x₂|=.?

       ∵-1≤a≤1,?

       ∴|x₁-x₂|=≤3.?

       要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立,?

       当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈［-1,1］恒成立,?

       即m²+tm-2≥0对任意t∈［-1,1］恒成立,②?

       设g(t)=m²+tm-2=mt+(m²-2).?

       方法一:②m≥2或m≤-2,?

       ∴存在实数m,使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立,其取值范围是?{m|m≥2或m≤-2}.?

       方法二:当m=0时,②显然不成立;?

       当m≠0时,②m≥2或m≤-2.

       ∴存在实数m,使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立,其取值范围是{m|m≥2或m≤-2}.